В начале двадцатого века Гёттингенский университет в Герамании (University of Göttingen) был одним из лучших исследовательских центров по математике в мире. Математик Дэвид Гильберт был хорошо зарекомендовавшим себя профессором в этом университете. Зимой 1924-1925 годов он дал серию лекций о бесконечности в математике, физике и астрономии. В одной из этих лекций он использовал пример, чтобы объяснить решающее различие между конечными и бесконечными множествами. Пример этот, принято сейчас называть отель Гильберта.
Отель Гильберта
Отель Гильберта — воображаемое здание, в котором имеется бесконечное количество комнат. Управляющий отелем гордится тем, что никогда не отказал ни одному гостю. А теперь представьте себе: поздним вечером, когда все номера отеля заняты, внезапно появляется новый гость.
Портье идет к управляющему и сообщает ему, что гостя некуда поселить. Управляющий говорит, что надо попросить всех жильцов переселиться в номер по соседству, так что гость из первого номера переселяется во второй, гость из второго — в третий и так далее. После этого первая комната освободится, и туда можно будет поселить нового гостя.Однако в полночь портье снова прибегает к управляющему. На этот раз он просто в отчаянии. Только что для участия в симпозиуме прибыло бесконечное количество математиков. «Мы же не сможем поселить их всех!» — восклицает портье. Подумав немного, управляющий предлагает следующее: «Нам придется попросить наших гостей о еще одном одолжении. Пусть каждый умножит номер своей комнаты на два и переселится в комнату с полученным номером». Таким образом, гость из четвертого номера переселяется в комнату 8, гость из комнаты 23 — в комнату 46, гость из комнаты 352 — в комнату 704 и так далее. После этого все комнаты с нечетными номерами освободятся. В них и поселятся участники симпозиума.
Этот прекрасный пример, показывающий красоту бесконечности популяризировал Джордж Гамов в своей научно-популярной книге 1947 года «Один два три … Бесконечность: Факты и Размышления о Науке» (George Gamow. One Two Three…Infinity: Facts and Speculations of Science).
Для тех кому интересно почитать о развитии идеи Отеля Гильберта я советую статью Аны Риты Пирес «Гостеприимство в отеле Гильберт. Насколько велика бесконечность?» (Ana Rita Pires «Hospitality at the Hilbert Hotel. How big is infinity?»). В этой статье Ана Пирес рассуждает о том, как разместятся гости, если они приехали на 99 автобусах с бесконечным числом мест, а также если приехало бесконечно число автобусов с бесконечным числом пассажиров. И даже еще сильнее развивает эту мысль, рассуждая о многомерном бесконечно пространстве.
